Fourier変換についてメモ

Fourier変換

Fourier変換って何？という話が出ていて、結局話の流れには関係なかったけど、そのうち使うかもしれないし、この機会に知識を書き下してみようと思った。

→結局、よく知らないことが分かったので、Fourier変換についてのメモと呼ぶには少し不十分っぽくなった。

写像

$A,B$ を集合とする。 $A$ の元それぞれに対して、 $B$ の元を一つ指定する規則のことを $A$ から $B$ への写像といい、

${ \displaystyle f:A \rightarrow B }$

のように表す。ただし、 $f$ は写像の名前。 $A$ を定義域、始域、ドメイン、ソースなどと、 $B$ を値域、終域、コドメイン、ターゲットなどと呼ぶ。

実数の集合を $\mathbb{R}$ とする。 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像には

${ \displaystyle f(x) = 3x+5, }$

${ \displaystyle g(x) = 3cosx +4sinx }$

などがある（もちろん、もっとたくさん、いくらでもある。式で書けるほうが珍しい）。写像は、この例のようにターゲットが数の集合である場合には特に、関数と呼ばれることが多い。（べつに数でなくても関数と呼んで構わないが、混乱の恐れがあるのでそうしないほうが良いと思う）

音は時刻の関数である

音とは、波である。各時刻における波の変位（空気の圧力）が正確にわかれば、元の音を再現できる。つまり、音とは、各時刻 $t$ に変位を対応させる規則のことである。たとえば、開始から $t$ 秒後の変位が $\sin(440t)$ であるような音は、「ラ」とか「A」と呼ばれる。音とは、時刻の関数である。

音の重ね合わせ

音は波なので、重ね合わせが起こる。関数として見れば、重ね合わせとは単純に元の関数たちを足し合わせるだけで、たとえば「ドミソ」の音は関数

${ \displaystyle \sin(261t)+\sin(329t)+\sin(391t) }$

で表せる（ちゃんと調べていないのでちょっとずつ違うかも）。「ラ」と1オクターブ低い「ラ」と1オクターブ高い「ラ」が重なった音は

${ \displaystyle \sin(440t)+\sin(220t)+\sin(880t) }$

で表せる。

音の判定

時刻の関数 $f(t)$ が（三角関数みたいなわかりやすい形に限らず）与えられたとき、それがどの音たちの重ね合わせかを調べる方法はあるか？

→ある。Fourier変換。

Fourier級数展開

Fourier変換について書こうと思ったが、結局Fourier級数展開について書くにとどまった。

予備知識

$t$ の関数の集合

${ \displaystyle \left\{ \frac{1}{\sqrt 2}, \sin(2 \pi t), \cos(2 \pi t), \sin(2\cdot 2\pi t), \cos(2\cdot 2\pi t), \cdots, \sin(2n \pi t), \cos(2n \pi t) \right\} }$

に属する2つの元 $f,g$ について、積の積分

${ \displaystyle \int_{0}^{1} f(t)g(t) dt }$

は、 $f=g$ の場合のみ $\frac{1}{2}$ となり、 $f\neq g$ の場合は $0$ となる。

証明は、

${ \displaystyle \sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha -\beta) -\cos(\alpha +\beta)}{2} }$

等の恒等式を知っていればやさしい。

有限和で書ける場合のFourier係数の計算

関数 $f(t)$ は、定数項と三角関数の組み合わせで

${ \displaystyle f(t) = c +a_1\sin(2\pi t) +b_1\cos(2\pi t) +a_2\sin(2\cdot 2\pi t) +b_2\cos(2 \cdot 2\pi t) +\cdots +a_n\sin(2n\pi t) +b_n\cos(2n\pi t) }$